设 k = \frac{a^2 + b^2}{ab+1}k=ab+1a2+b2，目标是证明 kk 为完全平方数。假设 k 不是完全平方数，并选取满足条件的正整数对 (a, b)(a,b) 使得 a + ba+b 最小（最小解原则）。 构造二次方程 将条件转化为方程： a^2 - k b a + b^2 - k = 0.a2?kba+b2?k=0. 固定 bb，将其视为关于 aa 的二次方程。设 a_1a1 为一个解，则另一解 a_2a2 满足韦达定理： a_1 + a_2 = k b, \quad a_1 a_2 = b^2 - k.a1+a2=kb,a1a2=b2?k. 由此可得 a_2 = k b...

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